Question

14．如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△CFP是以CF为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，由于OE=3，EA=EB=EC=4，则OA=2，OB=8，于是可得到A（-2，0），B（8，0），连结CE，利用勾股定理可计算出OC=4，所以C（0，-4）；
（2）设交点式y=a（x+2）（x-8），再把C（0，-4）代入可求出a=$\frac{1}{4}$，于是得到抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），然后把解析式配成顶点式即可得到顶点F的坐标；
（3）①设M点的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），如图1，利用三角形面积公式得到|$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4|=4，然后分别解方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=4和方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4即得到满足条件的M点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴为直线x=3，作CF的垂直平分线交直线x=3于P，根据线段垂直平分线的性质得PC=PF，设P（3，t），根据两点间的距离公式得到3²+（t+4）²=（t+$\frac{25}{4}$）²，然后解方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）如图1，
∵E（3，0），
∴OE=3，
∵EA=EB=EC=4，
∴OA=2，OB=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
连结CE，
在Rt△OCE中，OC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴C（0，-4）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
把C（0，-4）代入得a•2•（-8）=4，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），即y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
∵y=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
∴抛物线的顶点F的坐标为（3，-$\frac{25}{4}$）；
（3）①设M点的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），如图1，
∵S_△ABM=S_△ABC，
∴|$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4|=4，
当$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=4，
整理得x²-6x-32=0，解得x₁=3+$\sqrt{41}$，x₂=3-$\sqrt{41}$，此时M点坐标为（3+$\sqrt{41}$，4）或（3-$\sqrt{41}$，4），
当$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4，
整理得x²-6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，此时M点坐标为（6，-4），
综合所述，满足条件的M点的坐标为（3+$\sqrt{41}$，4）或（3-$\sqrt{41}$，4）或（6，-4）；
②存在．
如图2，抛物线的对称轴为直线x=3，
作CF的垂直平分线交直线x=3于P，则PC=PF，
设P（3，t），而C（0，-4），F（3，-$\frac{25}{4}$），
∴3²+（t+4）²=（t+$\frac{25}{4}$）²，解得t=-$\frac{25}{8}$，
∴P点坐标为（3，-$\frac{25}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和圆的有关性质；能利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和三角形面积公式．