Question

9．已知，如图，直线l₁，l₂，l₃是三条等距的平行线，将一块含30°角的直角三角板如图放置，使直角顶点C落在l₂上，另两个顶点A与B刚好分落在l₁与l₃上，AB与l₂交于点D
（1）求证：AD=BD；
（2）若BD=2，求直线l₁，l₂，l₃之间的距离．

Answer 1

分析 （1）过点C作l₂的垂线分别交l₁与l₃于点E、F，由平行线分线段成比例可直接得出结论；
（2）由（1）知D是AB中点，再加上∠A=30°，可得出三角形BCD是等边三角形，线l₁，l₂，l₃之间的距离就是等边三角形的高．

解答 解：（1）过点C作l₂的垂线分别交l₁与l₃于点E、F，如图，

∵l₁∥l₂∥l₃，且EC=CF，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{EC}{CF}=1$，
∴AD=BD；
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=BD=BC，
即：△BCD是等边三角形，
∴CF=BC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\frac{\sqrt{3}}{2}BD$=$\sqrt{3}$．
即：l₁，l₂，l₃之间的距离为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平行线平线段成比例、含30°的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、特殊角的三角函数等知识点，难度不大．第（1）问其实体现了一种证明线段相等的方法，也体现了平行线具有转移线段关系的重要功能，要引起重视，并能将这里的方法自觉运用到其也相关题的解答当中．