Question

在四边形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，F、H分别是BD、AC的中点．
（1）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？
（2）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？
（3）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）根据中位线的判定GH=EF=AB，EH=FG=

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CD，所以四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线垂直判定矩形即可；
（2）根据菱形的判定，四边都相等的四边形是菱形，只要证明EF=FG=GH=HE就可以了，这就需要AB=CD这个条件；
（3）首先利用菱形的性质得出平行四边形ABCD是菱形，再利用正方形的性质与判定得出即可．

解答：（1）当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF=

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AB；GH∥AB，GH=

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AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB⊥CD，
∴四边形EFGH是矩形．

（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，
∴EF=

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AB，HG=

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AB，FG=

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CD，EH=

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CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．

（3）答：当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，
证明：∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=

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AB，
同理，EH∥BD，EH=

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CD，GF=

1

2

CD，GH=

1

2

AB，
∵AC=BD
∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：此题考查了有关的判定：矩形、菱形的判定、正方形的判定、中位线的判定，牢记这几个判定，解此类问题就轻而易举了．