Question

11．如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使点M到B，C两点的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，求当t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（4）求当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）求得A，B，C三点的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）设BD与对称轴交于一点，则该点为所求的M点，求直线BD的解析式，即可得出点M坐标；
（3）求得抛物线的对称轴，欲使四边形POQE为等腰梯形，求得t的值即可；
（4）欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，分两种情况讨论：由条件可以从△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ进行计算，①若P、Q在y轴的同侧；②若P、Q在y轴的异侧，分别得出t的值，从而得出以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．

解答 解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB=4．∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点B，
∴c=2．
由题意，有$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{16}}\\{b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{4}$x+2．             
（2）连BD与对称轴交于一点，则该点为所求的M点，
易求直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+2，抛物线对称轴为直线x=2．
当x=2时，y=$\frac{3}{2}$，∴M（2，$\frac{3}{2}$）．
（3）将抛物线的解析式配方，得y=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+2$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的对称轴为x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，
则有OP=QE．即BP=FQ．∴t=6-3t，即t=$\frac{3}{2}$．
（4）欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有$\frac{BP}{OB}$=$\frac{OQ}{BO}$或$\frac{BP}{OB}$=$\frac{BO}{OQ}$，即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y轴的同侧．当BP=OQ时，t=8-3t，∴t=2．
当OB²=PB•QO时，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．解得t₁=2，t₂=$\frac{2}{3}$．
②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t-8=t，∴t=4．
当OB²=PB•QO时，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．解得t=$\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$．
∵t=$\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$＜0．故舍去．
∴t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$．
∴当t=2或t=$\frac{2}{3}$或t=4或t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$秒时，以P、B、O为顶点的三角形与Q、B、O为顶点的三角形相似．

点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质和等腰梯形的性质的运用，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的运用及数学分类思想的运用．