Question

15．如图①，直线l₁、l₂相交于点O，长为2的线段AB在直线l₂上，点P是直线l₁上一点，且∠APB=30°．
（1）请在图①中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若直线l₁、l₂的夹角为60°，线段AB在直线l₂上左右移动．
①当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；
②是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理进而得出符合条件的点P；
（2）①利用当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时以及当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时分别得出符合题意的答案；
②利用当直线l₁与⊙C₁相交于点P₁、P₂，与⊙C₂相切于点P₃时，当直线l₁与⊙C₁相切于点P₁，与⊙C₂相交于点P₂、P₃时，分别得出即可．

解答 解：（1）如图①：

以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，以C为圆心，AB长为半径作圆，
与直线l₁有两个交点P₁、P₂，则P₁、P₂是符合条件的点；

（2）①如备用图①，

当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB=30°
连接CP，过A作AD⊥l₁于D
则AD=CP=2，∴OA=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
如备用图②，

当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB=30°
连接CP，过B作BE⊥l₁于E，
则BE=CP=2，∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$+2，
综上所述，当A在O的右侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$或A在O的左侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$+2时符合条件的点P有且只有一个；

②存在，
如备用图③，

当直线l₁与⊙C₁相交于点P₁、P₂，与⊙C₂相切于点P₃时，连接C₂P₃，
过O作OF⊥BC₂于F，则OF=C₂P₃=2，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$-2，
如备用图④，

当直线l₁与⊙C₁相切于点P₁，与⊙C₂相交于点P₂、P₃时，连接C₁P₁，过A作AG⊥l₁于G
则AG=C₁P₁=2，∴OA=$\frac{AG}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
综上所述，当A在O的右侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$-2或A在O的左侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$时，符合条件的点P有三个．

点评 此题主要考查了圆的综合以及圆周角定理和切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．