Question

6．如图1，等边三角形ABC和等边三角形DEC，CE和AC重合．

（1）求证：AD=BE；
（2）当CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC时，若CE绕点C顺时针旋转30度，连BD交AC于点G，取AB的中点F连FG（如图2），求证：BE=2FG；
（3）在（2）的条件下AB=2，则AG=$\frac{3}{2}$．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）利用SAS即可证明△CBE≌△CAD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据旋转角的定义，可以得到∠ACE=30°，则∠GCD=90°，则AC⊥BD，可证明△BTG≌△DCG，从而得到FG是△ABD的中位线，然后证明Rt△BCE≌Rt△ACD，利用三角形的中位线定理以及全等三角形的性质即可确定；
（3）由（2）知△BTG≌△DCG，知TG=GC，∠DCG=∠BTG=∠BTA=90°，由△ABC是等边三角形，所以AT=CT=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，所以AG=$\frac{3}{4}$AB=$\frac{3}{2}$．

解答 （1）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，BC=AC，
在△CBE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE；
（2）证明：过B作BT⊥AC于T，连AD，如图2，
∵CE绕C顺时针旋转30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
由勾股定理可得BT=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB
又∵CD=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴BT=CD．
在△BTG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BTC=∠DCG}\\{∠BGT=∠DGC}\\{BT=CD}\end{array}\right.$，
∴△BTG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵F是AB的中点．
∴FG∥AD，FG=$\frac{1}{2}$AD．
则在Rt△BCE和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△ACD．
∴BE=AD，
∴BE=2FG．
（3）解：由（2）知∠GCD=90°，△BTG≌△DCG，
∴CG=TG，BT⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AT=CT=$\frac{1}{2}$AC，
∴AG=$\frac{3}{4}$AC，
∵AB=AC=2，
∴AG=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质以及勾股定理的综合运用，能够根据三角形全等和等边三角形的性质得到等线段的代换是解决问题的关键．