Question

1．两个矩形如图1摆放在直线MN上，AD=EH=1，CD=DE=EF=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角α，同时将矩形EFGH绕点E逆时针旋转角α，其中0°＜α＜90°．
（1）如图2，当点C和F重合时，α=30°；
（2）如图3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，α=45°，重叠部分的面积S=6-4$\sqrt{2}$；
（3）如图4，当旋转到点B与点G重合时，设DC与EF交于P，BP的延长线交DE于Q，线段BQ与DE的关系是垂直平分相等，利用你的结论（不用证明），计算两个矩形重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由CD=FE=DE=2，得到△CDE为等边三角形，则∠DCE=60°，得到∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，得到α=30°；
（2）由四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，则∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，即α=45°，由于△DFE是等腰直角三角形，DE=2，可求出DF=$\sqrt{2}$，CF=2-$\sqrt{2}$，即可求出重合正方形面积；
（3）垂直平分相等，可证明△BFP≌△EQP，得到PF=QE，在△BFP中用勾股定理列方程求出PF，即可求出重合部分面积．

解答 解：（1）如图2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠MDA=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，
而∠MDA等于旋转角，
∴α=30°；
（2）如图3，∵四边形MFNC为正方形，
而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠ADM=180°-90°-45°=45°，
∴α=45°．
∵△DEF是等腰直角三角形，DE=2，
∴DF=$\sqrt{2}$，CF=2-$\sqrt{2}$，
∴S正方形=（2-$\sqrt{2}$）²=6-4$\sqrt{2}$；
（3）线段BQ与DE的关系是：垂直平分相等．
如图4，
在△BFP和△EQP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠EQP=90°}\\{∠BPF=∠EPQ}\\{BF=QE=1}\end{array}\right.$
∴△BFP≌△EQP，
∴PQ=PF，
设PF=x，则BP=2-x，
∵BP²=PF²+BF²，
∴（2-x）²=1²+x²
∴x=$\frac{3}{4}$，
∴S_{四边形BFPC}=2S_△BFP=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：（1）30°；（2）45°，$6-4\sqrt{2}$；（3）垂直平分相等．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理和图形面积计算等知识，熟练运用旋转的性质以及具有较强的逻辑推理能力是解决问题的关键．