如图.在△ABC中.∠C=90°.AC=2.BC=4．△A1B1C1.△A2B2C2.△A3B3C3.-.△AnBnCn是n个相同的等腰直角三角形.其直角顶点C1.C2.C3.-.Cn都在CB边上.点A1在AC上.A2C2经过点B1且平行于A1C1.A3C3经过点B2且平行于A2C2.-.AnCn过点Bn-1且平行于An-1Cn-1.且A1C=2CC1．当n=7时.点B7正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、…、△A_nB_nC_n是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C₁、C₂、C₃、…、C_n都在CB边上，点A₁在AC上，A₂C₂经过点B₁且平行于A₁C₁，A₃C₃经过点B₂且平行于A₂C₂，…，A_nC_n过点B_n-1且平行于A_n-1C_n-1，且A₁C=2CC₁．当n=7时，点B₇正好落在AB边，则这个小的等腰直角三角形的直角边长为（　　）

A．

$\frac{1}{7}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{7}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

D．

$\frac{8\sqrt{5}}{5}$

分析 ①作B₁D⊥BC于D．首先设CC₁=x，然后表示出A₁C=2x，A₁C₁=$\sqrt{5}$x，结合已知线段利用两组对应边的比相等且夹角相等证得△ABC∽△C₁CA₁，利用相似三角形的性质得到∠CA₁C₁=∠B，从而证得C₁CA₁≌△B₁C₁D，然后根据CC₁+C₁B=BC列出方程x+4x=4后求解x值即可得到a₁=A₁C₁=$\sqrt{5}$x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
②作B₂D⊥BC于D．与第（1）题类似得到C₁CA₁∽△C₂C₁B₁，利用相似三角形的对应边的比相等得到C₁C₂=$\frac{5}{2}$x，从而根据CC₁+C₁C₂+C₂D=BC得到方程x+$\frac{5}{2}$x+4x=4求得x=$\frac{8}{15}$后即可得到a₂=A₁C₁=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$；
③作B_nD⊥BC于D．由第（1）、（2）两小题可知BC_n=4x，从而得到C₁C₂=C₂C₃=…=C_n-1C_n=$\frac{5}{2}$x，利用CC₁+C₁C₂+C₂C₃+…+C_nD=BC得到方程x+$\frac{5}{2}$x（n-1）+4x=4求解x=$\frac{8}{5n+5}$后即可得到a_n=A₁C₁=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{5n+5}$．

解答解：①如图1，作B₁D⊥BC于D．
设CC₁=x，则A₁C=2x，A₁C₁=$\sqrt{5}$x．
∵AC=2，BC=4，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{C{C}_{1}}{{A}_{1}C}$
∵∠ACB=∠C₁CA₁=90°，
∴△ABC∽△C₁A₁C，
∴∠CA₁C₁=∠B．
∵∠CA₁C₁=90°-∠A₁C₁C=∠B₁C₁D，
∠C=∠B₁DC₁=90°，A₁C₁=C₁B₁，
∴△C₁CA₁≌△B₁DC₁，
∴C₁D=A₁C=2x，∠CA₁C₁=∠B₁C₁D=∠B，
∴BD=C₁D=2x，BC₁=4x．
∵CC₁+C₁B=BC，
∴x+4x=4，
解得：x=$\frac{4}{5}$，
∴a₁=A₁C₁=$\sqrt{5}$x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
②如图2，作B₂D⊥BC于D．
设CC₁=x，则A₁C=2x，A₁C₁=B₁C₁=A₂C₂=B₂C₂=$\sqrt{5}$x，
由①可知BC₂=C₂D+BD=4x．
∵A₁C₁∥A₂C₂，
∴∠A₁C₁C=∠B₁C₂C₁．
∵∠C=∠C₁B₁C₂=90°，
∴△C₁CA₁∽△C₂B₁C₁．
∴$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}C}{{A}_{1}{C}_{1}}$，
∴C₁C₂=$\frac{5}{2}$x．
∵CC₁+C₁C₂+BC₂=BC，
∴x+$\frac{5}{2}$x+4x=4，
∴x=$\frac{8}{15}$，
∴a₂=A₁C₁=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．
③如图3，作B_nD⊥BC于D．
由①②可知BC_n=4x，
C₁C₂=C₂C₃=…=C_n-1C_n=$\frac{5}{2}$x．
∵CC₁+C₁C₂+C₂C₃+…+BC_n=BC，
∴x+$\frac{5}{2}$x（n-1）+4x=4，
∴x=$\frac{8}{5n+5}$，
∴a_n=A₁C₁=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{5n+5}$，
∴a₇=$\frac{8\sqrt{5}}{5×7+5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，若m=|a+b|-|b-1|+|a-c|-|1-c|，则1000m等于多少？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

3．在（-2），（-2）³，|-2|，（-2）²，-2²中，负数有（　　）个．

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

1．两个矩形如图1摆放在直线MN上，AD=EH=1，CD=DE=EF=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角α，同时将矩形EFGH绕点E逆时针旋转角α，其中0°＜α＜90°．
（1）如图2，当点C和F重合时，α=30°；
（2）如图3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，α=45°，重叠部分的面积S=6-4$\sqrt{2}$；
（3）如图4，当旋转到点B与点G重合时，设DC与EF交于P，BP的延长线交DE于Q，线段BQ与DE的关系是垂直平分相等，利用你的结论（不用证明），计算两个矩形重叠部分的面积．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a²+2ab+b²=（a+b）²，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

（1）图B可以解释的代数恒等式是2a²+2ab=2a（a+b）．
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试在下面的虚线方框中画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两张纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为a²+ab-2b²，并利用你所画的图形面积对a²+ab-2b²进行因式分解．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

18．

如图所示，已知∠α，∠β，且∠α，∠β均为锐角，求∠AOB，使它等于∠α与∠β的和．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

5．（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．

如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
（3）若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

3．计算：：
（1）（xy-x²）÷$\frac{x-y}{xy}$
（2）（$\frac{{a}^{2}b}{-c}$）²•（$\frac{{c}^{2}}{-ab}$）³÷（$\frac{bc}{a}$）⁴
（3）$\frac{a-1}{{a}^{2}-4a+4}$÷$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}-4}$
（4）$\frac{2-x}{x-1}$÷（x+1-$\frac{3}{x-1}$）．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学