Question

【题目】已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．

（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；

（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；

（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：

①是定值；

②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．

Answer 1

【答案】（1）AB＝15；（2）2;（3）①见解析;②见解析.

【解析】

（1）由AC=AB+BC=3AB可得；

（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；

（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；

（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，

∴AB＝15；

（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，

∴BM＝BD，DN＝NC，

①D在BC之间时：

BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，

∴＝2；

②D在AB之间时：

BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，

∴＝2；

③D在A点左侧时：

BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，

∴＝2；

故＝2；

（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．

∴AE＝EP，BF＝CF，

①

EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，

BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，

AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，

∴＝2．

②

EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，

BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，

AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，

∴＝2．

③

EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，

BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，

∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，

∴＝2．