Question

11．【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=90°．
【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．
（1）求证：ED=FC．
（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．

Answer 1

分析 阅读发现：只要证明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可证明．
拓展应用：（1）欲证明ED=FC，只要证明△ADE≌△DFC即可．
（2）根据∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可计算．

解答 解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，
∵△ADE≌△DFC，
∴DF=CD=AE=AD，
∵∠FDC=60°+90°=150°，
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，
∴∠FDE=60°+15°=75°，
∴∠MFD+∠FDM=90°，
∴∠FMD=90°，
故答案为90°
（1）∵△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，EA=AB．
∵△ADF为等边三角形，
∴∠FDA=60°，AD=FD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．
∴EA=DC．
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，
∴∠EAD=∠CDF．
在△EAD和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠EAD=∠FDC}\\{AD=DF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△CDF．
∴ED=FC；
（2）∵△EAD≌△CDF，
∴∠ADE=∠DFC=20°，
∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．