Question

【题目】已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；

（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）OH＝AD，OH⊥AD，证明见解析

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；

（2）如图2中，结论：OH＝AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE＝OH（倍长中线构造全等三角形），连接BE，由△BEO≌△ODA即可解决问题．

（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，

∴OB＝AB＝4，OC＝CD＝，

∴BC＝＝＝，

∵在Rt△BOC中，点H为线段BC的中点，

∴OH＝BC＝；

（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，

∵点H是BC中点，

∴BH＝CH，

∵∠EHB＝∠OHC，

∴△BEH≌△COH（SAS），

∴OH＝EH，BE=CO，∠EBC＝∠BCO，

∴OH＝OE，

∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，

∵BE=CO，OC＝OD，

∴BE=OD，

∵OB＝OA，BE＝OD，

∴△BEO≌△ODA（SAS），

∴OE＝AD，

∴OH＝OE＝AD

∵△BEO≌△ODA，

∴∠EOB＝∠DAO

∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，

∴OH⊥AD．