Question

（1）操作发现

如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；
（2）类比探究
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：常规题型

分析：（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；
（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；

解答：解：（1）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°
  在等边△AMN中，AM=AN，∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°
∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC，
在△ABM和△ACN中，

AB=AC ∠BAM=∠NAC AM=AN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC
  在等边△AMN中，AM=AN，∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC
∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC，
在△ABM和△ACN中，

AB=AC ∠BAM=∠NAC AM=AN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

点评：本题考查了等边三角形各边长、各角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质．