Question

已知：等边△ABC，D、E分别是射线AC、射线BC上的点，且∠BAE=∠CBD＜60°，DH⊥AB点H．

（1）如图1，当点D、E分别在边AC、边BC上时，求证：AC=2AH+BE；
（2）如图2，当点D、E分别在AC延长线和CB延长线上时，线段AC、AH、BE的数量关系为：

 

；
（3）在（2）的条件下，如图3，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC=6，BE=2时，求线段BP的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形性质，可得BE=CD，根据直角三角形的性质，可得AD与AH的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形性质，可得BE=CD，根据直角三角形的性质，可得AD与AH的关系，根据等量代换，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得BD，根据相似三角形的判定与性质，可得CK、EK的长，根据等边三角形的判定与性质，可得BM=BH=HM=2，根据相似三角形的判定，可得

HM

KC

=

MG

CG

，根据相似三角形的性质，可得MG，再根据相似三角形的判定与性质，可得

BP

EK

=

GB

GE

，可得答案．

解答：解：（1）如图1，

∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠C=∠CAB=60°，AB=BC，
∵∠BAE=∠CBD，
在△ABE和△BCD中，

∠BAE=∠CBD AB=BC ∠ABE=∠BCD

，
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴BE=CD．
∵DH⊥AB，
∴∠DHA=90°
∵∠CAB=60°
∴∠ADH=30°，
∴AD=2AH，
∴AC=AD+CD=2AH+BE；
（2）AC+BE=2AH；
（3）如图2，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，
∵AC=6，BE=2
∴由（2）得AH=4，BH=2 
与（1）同理可得BE=CD=2，CE=8，
∵∠SCD=∠ACB=60°，
∴∠CDS=30°，
∴CS=1，SD=

3

，BS=7．
∵BD²=BS²+SD²=7 2+(

3

)2
∴BD=2

13

，
∵EK∥BD，
∴△CBD∽△CEK
∴

CB

CE

=

CD

CK

=

BD

EK

．
∴CK=

8

3

，EK=

8 13

3

．
∵HM∥AC，
∴∠HMB=∠ACB=60°
∴△HMB为等边三角形，BM=BH=HM=2，
CM=CB-BM=4，
∵HM∥AC，
∴∠MHG=∠CKG，∠HMG=∠KCG，
∴△HMG∽△KCG，
∴

HM

KC

=

MG

CG

，
即

2

8 3

=

MG

4-MG

，MG=

12

7

，BG=

26

7

，EG=

40

7

．
∵EK∥BD
∴△GBP∽△GEK，
∴

BP

EK

=

GB

GE

，
∴BP=

26 13

15

．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．