Question

如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=

1

2

秒时，则OP=

 

，S_△ABP=

 

；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何动点问题,压轴题

分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．

解答：（1）解：当t=

1

2

秒时，OP=2t=2×

1

2

=1．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PD=

1

2

×（2+1）×

3

2

=

3 3

4

．

（2）解：当△ABP是直角三角形时，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，
∴∠A≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：

∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，
∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：

过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=

3

t，
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB-OD=1-t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA²+PB²=AB²
∴（AD²+PD²）+（BD²+PD²）=AB²，
即[（2+t）²+（

3

t）²]+[（1-t）²+（

3

t）²]=3²
解方程得：t=

-1+ 33

8

或t=

-1- 33

8

（负值舍去），
∴t=

-1+ 33

8

．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=

-1+ 33

8

．

（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，
则有

BE

PE

=

OB

OA

=

1

2

，
∴PE=

2

3

PB．

∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∵OE∥AP，
∴∠OEB=∠APB，
∴∠OEB=∠B，
∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，
∴∠OAQ+∠B=180°，
∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，
∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PEO，
∴

AQ

OE

=

OA

PE

，即

AQ

1

=

2

2 3 PB

，
化简得：AQ•PB=3．

点评：本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．