Question

10．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（2，0），B（-2，2）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1与二次函数y=ax²+3x+c相交，写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可求得二次函数的解析式；
（2）令y=0，可得到x的一元二次方程，可求得D点坐标；
（3）联立二次函数和一次函数解析式可求得其交点坐标，当一次函数直大于二次函数的值时，则一次函数的图象在二次函数图象上方，由图象可直接写出x所满足的范围．

解答 解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+2b+c}\\{2=4a-2b+c}\\{5=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，解得x=2或x=-1，
∴D点坐标为（-1，0）；
（3）由（1）可知a=$\frac{1}{2}$，c=-1，
∴二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+3x-1，
联立一次函数和二次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{2}}\\{y=-1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{2}}\\{y=-1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
又∵二次函数开口向上，
∴当x在两交点之间时，一次函数值大于二次函数值，
∴当-2-$\sqrt{2}$＜x＜-2+$\sqrt{2}$时，一次函数值大于二次函数值．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，在（1）中求出二次函数的解析式是解决（2）、（3）的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．