Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△MAB的形状，并说明理由；

（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】方法一：

（1）待定系数法即可解得．

（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．

（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），通过EG∥DH，得出=，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得结论．

方法二：

（1）略．

（2）求出A，B，M三点坐标，用勾股定理或黄金法则二证明直角，用对称性证明等腰．

（3）设CD的直线方程与抛物线联立，求出C，D参数坐标，利用黄金法则二证明垂直．

【解答】方法一：

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），

∴，解得b=0，c=﹣1，

∴抛物线的解析式为：y=x²﹣1．

 

（2）△MAB是等腰直角三角形．

由抛物线的解析式为：y=x²﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OM=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形．

 

 

（3）MC⊥MD；

分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC延长线于G，交DF于H，

设D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n²，OF=m，DF=m²﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n²，DH=m²，

∵EG∥DH，

∴=，

即=，

m（1﹣n²）=﹣n（m²﹣1），

m﹣mn²=﹣m²n+n，

（m²n﹣mn²）=﹣m+n，

mn（m﹣n）=﹣（m﹣n），

∴mn=﹣1

解得m=﹣，

∵==﹣n， ===﹣n，

∴=，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MD．

方法二：

（1）略．

（2）A（﹣1，0），B（1，0），M（0，﹣1），

∴K_AM==﹣1，K_BM==1，

∴K_AM×K_BM=﹣1，∴AM⊥BM，

又AM=，

BM=，

∴AM=BM，

∴△MAB为等腰直角三角形．

 

（3）当直线为x轴时，直线CD与抛物线的交点为A，B，由（2）可知CM⊥DM，设CD的直线方程为：y=kx（k≠0）

∴⇒x=或，

∴C（，），D（，），

K_CM=，

K_DM=，

∴K_CM×K_DM=﹣1，

∴CM⊥DM．