Question

4．已知直线y=-$\frac{2n}{n+1}$x+$\frac{2}{n+1}$（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S_n，则S₁+S₃+…+S₂₀₁₃+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 依次求出S₁、S₂、S_n，就发现规律：Sn=$\frac{1}{n（n+1）}$，然后求其和即可求得答案．注意$\frac{1}{n（n+1）}$，=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：∵当n=1时，直线为y=-x+1，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，1），（1，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
当n=2时，直线为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，$\frac{2}{3}$），（$\frac{1}{2}$，0），
∴S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$；
当n=3时，直线为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{3}$，0），
∴S₃=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
…，
Sn=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴S₁+S₃+…+S₂₀₁₃+S₂₀₁₅=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．