Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$cm．

Answer 1

分析 当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，由切线性质得OC⊥AC，在△AOC中判断∠OAC=30°，∠AOC=60°，再在Rt△AOD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则在Rt△BDP中，由于∠BDP=∠ADO=60°，则可计算出DP=$\frac{1}{2}$BD=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后在Rt△DPN中计算出PN=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，最后计算PN+MN，从而可得到P点纵坐标的最大值．

解答 解：当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，
∵AC为切线，
∴OC⊥AC，
在△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴∠OAC=30°，∠AOC=60°，
在Rt△AOD中，∵∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△BDP中，∵∠BDP=∠ADO=60°，
∴DP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△DPN中，∵∠PDN=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
而MN=OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PM=PN+MN=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
即P点纵坐标的最大值为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和含30度的直角三角形三边的关系；理解坐标与图形性质．