Question

3．已知△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=6，把它放在平面坐标系中，使A，B两点关于y轴对称，边AC交y轴于点D，如图所示，点P是AC边上的动点，点E是x轴上的动点，且PB=PE，设PA=t，
（1）当t=0时，点E的坐标为（-9，0）；
（2）当点E与点O重合时，求t的值；
（3）当t≠0时，请先在图中画出图形，再求点E的坐标（用含t的式子表示）

Answer 1

分析 （1）当t=0时，可得PA=0，则PB=AB=6，依此可得点E的坐标；
（2）点E与点O重合时，点P是AC边与线段OB垂直平分线的交点，求得两直线的交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）过P点作PF⊥x轴于E，根据三角函数得到AF的长，进一步得到BF的长，再在x轴上找到B点关于F点的对称点E的坐标．

解答 解：（1）∵t=0，
∴PA=0，
∴PB=AB=6，
∵A，B两点关于y轴对称，
∴A（-3，0），B（3，0），
∴E（-9，0）；
（2）∵点E与点O重合时，
∴点P是AC边与线段OB垂直平分线的交点，
∴线段OB垂直平分线的解析式是x=1.5，
∵∠A=60°，
∴设直线AC的解析式是y=$\sqrt{3}$x+b，则-3$\sqrt{3}$+b=0，解得b=3$\sqrt{3}$．
∴直线AC的解析式是y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$．
则当x=1.5时，y=1.5$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=4.5$\sqrt{3}$，
∴P（1.5，4.5$\sqrt{3}$），
∴t=PA=9；
（3）如图，过P点作PF⊥x轴于E，
在Rt△APF中，AF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，
则BF=6-$\frac{1}{2}$t，
则点E的坐标为[3-2（6-$\frac{1}{2}$t），0]，即（t-9，0）．

点评 考查了一次函数综合题，关键是熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，待定系数法求直线解析式，两点间的距离公式，三角函数，方程思想的应用等知识点，综合性较强，有一定的难度．