Question

如图，直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=

1

2x

（x＞0）上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E
（1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）；
（2）当a=

3

4

时，求△EOF的面积．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：
①BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；
②∠EOF的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,完全平方式,反比例函数图象上点的坐标特征,勾股定理,矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）易得点E的纵坐标为b，点F的横坐标为a，代入直线的解析式y=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F两点的坐标．
（2）当a=

3

4

时，可求出线段OM、ON、FM、EN、PE、PF的长，然后用割补法就可求出△EOF的面积．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，由P（a，b）为双曲线y=

1

2x

（x＞0）上的一动点可得2ab=1．①运用勾股定理将BE²、EF²、FA²用a、b的代数式表示，即可证到BE²+FA²=EF²，从而解决问题；②由直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点可得OA=OB=1，从而得到∠OAB=45°．运用合情推理得出∠EOF=45°，然后只需证明∠EOF=∠OAB即可．要证∠EOF=∠OAB，只需证明△EOF∽△EAO，只需证明OE²=EF•EA，将OE²、EF、EA分别用a、b的代数式表示，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴x_F=x_M=x_P=a．
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴y_E=y_N=y_P=b．
∵点E、F在直线AB上，
∴y_E=-x_E+1=b．y_F=-x_F+1=-a+1．
∴x_E=1-b，y_F=1-a．
∴点E的坐标为（1-b，b），点F的坐标为（a，1-a）．
（2）当a=

3

4

时，
∵P（a，b）在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上，
∴b=

1

2a

=

2

3

．
∴点P的坐标为（

3

4

，

2

3

），点E的坐标为（

1

3

，

2

3

），点F的坐标为（

3

4

，

1

4

）．
∴ON=

2

3

，NE=

1

3

，OM=

3

4

，FM=

1

4

．
∵直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；
当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．
∴OA=OB=1．
∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，
∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．
∴四边形OMPN是矩形．
∴PM=ON=

2

3

，NP=OM=

3

4

．
∴BN=1-

2

3

=

1

3

，PE=

3

4

-

1

3

=

5

12

，PF=

2

3

-

1

4

=

5

12

．
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONE-S_△OMF-S_△PEF
=OM•ON-

1

2

ON•NE-

1

2

OM•FM-

1

2

PE•PF
=

3

4

×

2

3

-

1

2

×

2

3

×

1

3

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

5

12

×

5

12

=

1

2

-

1

9

-

3

32

-

25

288

=

5

24

．
∴△OEF的面积为

5

24

．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，
①BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
证明：如图1，
∵PM⊥x轴，FM=1-a，AM=1-a，
∴FA²=FM²+MA²=（1-a）²+（1-a）²=2（1-a）²．
同理可得：BE²=2（1-b）²，
EF²=[a-（1-b）]²+[b-（1-a）]²=2（a+b-1）²．
∵P（a，b）在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上，
∴2ab=1，a＞0，b＞0．
∴EF²=2（a²+b²+1+2ab-2a-2b）
=2（a²+b²+1+1-2a-2b）
=2[（a²-2a+1）+（b²-2b+1）]
=2（1-a）²+2（1-b）²
=FA²+BE²．
∴BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
②∠EOF的大小不变．
证明：过点E作EH⊥OM，垂足为H，如图2，
∵EN⊥ON，
∴OE²=ON²+EN²=b²+（1-b）²=2b²+1-2b．
∵EH⊥OM，EH=b，AH=1-（1-b）=b，
∴EA=

b2+b2

=

2

b．
同理可得：FA=

2

（1-a）．
∴EF=EA-FA=

2

b-

2

（1-a）=

2

（b+a-1）．
∵2ab=1，
∴EF•EA=

2

（b+a-1）•

2

b
=2（b²+ab-b）
=2b²+2ab-2b
=2b²+1-2b．
∴OE²=EF•EA．
∴

OE

EF

=

EA

OE

．
∵∠OEF=∠AEO，
∴△OEF∽△AEO．
∴∠EOF=∠EAO．
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∴∠EOF=45°．
∴∠EOF的大小不变，始终等于45°．

点评：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、完全平方公式等知识，考查了用割补法求图形的面积，综合性比较强．而通过合情推理猜想∠EOF=45°，再通过演绎推理证到∠EOF=∠OAE=45°是解决第三小题的第二个问题的关键．