Question

【题目】如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即 = ），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，⊙O为所作；

（2）解：BD与⊙O相切．理由如下：

连接OD，如图1，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∵∠CBD=∠A，

∴∠CBD=∠ODA，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°，

∴∠ODA+∠CDB=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BD，

∴BD为⊙O的切线；

（3）解：∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，

∴△CDB∽△CBA，

∴CD：CB=CB：CA，

∴CB2=CDCA，

∵点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD2=CDAC，

∵AD=CB，

∵AE为直径，

∴∠ADE=90°，

在△ADE和△BCD中

，

∴△ADE≌△BCD，

∴DE=DC，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∴四边形CDEF为矩形，

∴四边形DEFC是正方形．

【解析】（1）过A、D的圆圆心在AD的垂直平分线上，由交轨法，必在此线与AB的交点处；（2）要证相切，须连结半径，再证∠ODB=90°，可利用已知的∠C=90°，∠CBD=∠A即可证出;（3）由（2）中的△CDB∽△CBA可得CB2=CDCA，由已知“点D是线段AC的黄金分割点”可得AD2=CDAC，两式比较可得AD=CB，进而证得全等，所以DE=DC，易证四边形CDEF为矩形，即可证得四边形DEFC是正方形.