Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；

(3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，E（，）或（，）；（3）点E（，）或（，）．

【解析】

（1）直线l：y＝x+2过C点，则点C（2，3），y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），即可求解；（2）＝=＝或，即可求解；（3）分当点E在直线BC上方、点E在直线BC的下方两种情况，分别求解即可．

（1）直线l：y＝x+2过点C（2，n），且与y轴交于点B，

∴n=×2+2=3，当x=0时，y=2，

∴B（0，2），C（2，3）

将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2），

∴DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，

＝=＝或，

解得：m＝或，

∴﹣m2+2m+3=，或﹣m2+2m+3=，

∴点E（，）或（，）；

（3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2），

DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，

①如图2，当点E在直线BC上方时，

∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°，

∵∠AED＝∠ABC，

∴∠AED+∠EDB＝180°，

∴AE∥CD，

∴四边形ABDE为平行四边形，

∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1，

解得：m＝0或（舍去0）；

∴﹣m2+2m+3=，即E（，）.

②如图3，当点E在直线BC的下方时，

设AE、BD交于点N，过点N作x轴的平行线交DE于点M

∵AB∥DE，

∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，

∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，

∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形，

∴点M的纵坐标和AB中点的坐标同为，

由中点公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝，

解得：m＝0或（舍去0），

∴﹣m2+2m+3=，即E（，）．

综上，点E（，）或（，）．