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【题目】如图,已知在RtABC中,∠ABC90°,点OAB边上一点,以O为圆心OB为半径的⊙O与边AB相交于点E,与AC边相切于D点,连接OC交⊙O于点F

1)连接DE,求证:OCDE

2)若⊙O的半径为3

①连接DF,若四边形OEDF为菱形,弧BD的长为_____(结果保留π

②若AE2,则AD的长为_____

【答案】1)见解析;(2)①;②4.

【解析】

1)利用HL可证明RtOCDRtOCB,可得∠COD=∠COB,利用三角形外角性质可得∠DOB=∠ODE+OED,即可证明∠DOC=∠ODE,即可得OC//DE;(2)①根据菱形的性质可求出∠BOD,利用弧长公式即可得答案;②由DEOC,推出,设AD2kCD3k,由RtOCDRtOCB,可得BCCD3k,在RtABC中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

1)证明:连接OD

AC是切线,

ODAC,∠ODC=∠OBC90°

OCOCODOB

RtOCDRtOCBHL),

∴∠COD=∠COB

ODOE

∴∠ODE=∠OED

∵∠DOB=∠ODE+OED

∴∠DOC=∠ODE

DEOC

2)①∵四边形DEOF是菱形,

DFODOF

ODF是等边三角形,

∴∠DOF60°

∴∠BOD2DOC120°

的长=

故答案为

②∵DEOC

AD2kCD3k

RtOCDRtOCB

BCCD3k

RtABC中,则有25k29k2+82

k2或﹣2(舍弃),

AD4

故答案为4

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1)如图1,当∠DEC60°时,求证:PAPE

2)如图2,当∠DEC90°时,

①求tanEBC的值;②求的值.

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请你根据以上图表提供的信息,解答下列问题:

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(2)在扇形图中,A等级所对应的圆心角是   度;

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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(03)C(2n)两点,直线lyx+2C点,且与y轴交于点B,抛物线上有一动点E,过点E作直线EFx轴于点F,交直线BC于点D

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,当点E在直线BC上方的抛物线上运动时,连接BEBF,是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为23两部分?若存在,求出点E的坐标,若不存在说明理由;

(3)如图2,若点Ey轴右侧的抛物线上运动,连接AE,当∠AED=∠ABC时,直接写出此时点E的坐标.

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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(03)C(2n)两点,直线lyx+2C点,且与y轴交于点B,抛物线上有一动点E,过点E作直线EFx轴于点F,交直线BC于点D

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,当点E在直线BC上方的抛物线上运动时,连接BEBF,是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为23两部分?若存在,求出点E的坐标,若不存在说明理由;

(3)如图2,若点Ey轴右侧的抛物线上运动,连接AE,当∠AED=∠ABC时,直接写出此时点E的坐标.

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【题目】如图,RtADB中,∠ADB90°,∠DAB30°,⊙OADB的外接圆,DHAB于点H,现将AHD沿AD翻折得到AEDAE交⊙O于点C,连接OCAD于点G

1)求证:DE是⊙O的切线;

2)若AB10,求线段OG的长.

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【题目】下表统计的是甲、乙两班男生的身高情况,根据统计表绘制了如下不完整的统计图.

根据以上统计表完成下列问题:

1)统计表中的m   n   ,并将频数分布直方图补充完整;

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【题目】如图,在正方形ABCD中,点EF分别在边BCCD上,且BECF,连接AEBF,其相交于点G,将△BCF沿BF翻折得到△BCF,延长FC′交BA延长线于点H

1求证:AEBF

猜想AEBF的位置关系,并证明你的结论;

2)若AB3EC2BE,求BH的长.

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