Question

【题目】如图，Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，求线段OG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接半径，由同圆的半径相等得：OA=OD，利用等边对等角可知：∠OAD=∠ODA，利用翻折的性质可知：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，证OD∥AE，得∠ODE=90°，所以DE与⊙O相切；

（2）先证明△OAC是等边三角形，再证明OG∥BD，根据中位线定理可知：BD=2OG=5，于是得到结论．

解：（1）连接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

由翻折得：∠OAD＝∠EAD，∠E＝∠AHD＝90°，

∴∠ODA＝∠EAD，

∴OD∥AE，

∴∠E+∠ODE＝180°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE与⊙O相切；

（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，

∴∠OAD＝∠EAD＝30°，

∴∠OAC＝60°，

∵OA＝OD，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠AOG＝60°，

∵∠OAD＝30°，

∴∠AGO＝90°，

∴OG＝AO＝．