Question

3．抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标及直线BC的解析式；
（3）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，求△BDC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（3）设P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的长，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大值．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
则$\left\{\begin{array}{l}{b′=3}\\{3k+b′=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b′=3}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为y=-x+3；

（3）如图，连接BD，
设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）
=$\frac{1}{2}$PD×3
=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△BDC的面积最大为$\frac{27}{8}$．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题以及三角形面积表示方法等知识，根据题意表示出S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB是解题关键．