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    4．阅读理解
    如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：①$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$②$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$③$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$；反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC．

    理解运用
    三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．
    （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG延CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为F、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；
    （2）在（1）所得图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，求证：AR∥BC；
    综合实践
    （3）如图3，某个区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米、BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建设一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形？并求出对角线EG最短距离（不要求证明）．

    分析 （1）根据条件画出矩形PBQH即可．
    （2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．由PH∥BC，推出$\frac{PH}{BC}$=$\frac{RH}{RC}$，由DG∥BC，推出$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，由PH=DG，推出$\frac{RH}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，推出AR∥HG，由HG∥BC，即可证明AR∥BC．
    （3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．由（2）可知BH=EG，求出BH即可解决问题．

    解答 解：（1）矩形PBQH如图1所示．

    （2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．
    ∵PH∥BC，
    ∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{RH}{RC}$，
    ∵DG∥BC，
    ∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，
    ∵PH=DG，
    ∴$\frac{RH}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，
    ∴AR∥HG，
    ∵HG∥BC，
    ∴AR∥BC．

    （3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．

    则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG=BH，故此时矩形的对角线EG最短）．
    在Rt△RBC中，∵BC=600，BR=200$\sqrt{2}$，
    ∴CR=$\sqrt{B{R}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（200\sqrt{2}）^{2}+60{0}^{2}}$=200$\sqrt{11}$，
    ∴BH=$\frac{BR•BC}{RC}$=$\frac{200\sqrt{2}•600}{200\sqrt{11}}$=$\frac{600\sqrt{22}}{11}$．
    由（2）可知EG=BH=$\frac{600\sqrt{22}}{11}$．

    点评 本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用（2）中的添加辅助线的方法解决问题（3），灵活应用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．

    练习册系列答案
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