Question

7．如图，是一个4×4的方格，
（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．
（2）求∠1-∠2+∠3-∠4+…+∠15-∠16．

Answer 1

分析 （1）由图可找出多对全等三角形，根据全等三角形的对应角相等得出对应多对角的和是90°，即∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、且∠4=∠10=∠14=∠16=45°，再相加即可；
（2）首先将原式变形为（∠1+∠3+…+∠15）-（∠2+∠4+…+∠16），再根据对应多对角的和是90°即可求解．

解答 解：（1）观察图形可知：∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°．

（2）∠1-∠2+∠3-∠4+…+∠15-∠16
=（∠1+∠3+…+∠15）-（∠2+∠4+…+∠16）
=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）-（∠2+∠6）-（∠8+∠12）-∠4-∠10-∠14-∠16
=90°×4-90°×2-45°×4
=0．

点评 本题考查三角形全等的性质的运用，由三角形全等得对应角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．