Question

4．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．

解答 解：如图，

由旋转的性质可知：AC=AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}AC$，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}EC$，
∴CE=$\frac{2}{3}CD$=$\frac{2}{3}AB=2$，
DE=$\frac{1}{3}AB=1$，
AD=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△AEC}=\frac{1}{2}×EC×AD$=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．