Question

19．如图：直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线BC与x轴交于B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求：点A与点C的坐标；
（2）求直线BC的表达式；
（3）已知，点D（-1，4），判断△BCD形状，并证明；
（4）在坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，分别求出点A与点C的坐标各是多少即可．
（2）首先根据C点的坐标是（0，3），设直线BC的表达式是y=kx+3，然后把B点的坐标代入，求出直线BC的表达式是多少即可．
（3）首先过点D做DP⊥y轴于点P，判断出DP=PC=1，推得∠DCP=45°；然后根据OB=OC=3，∠BOC=90°，推得∠BCO=45°；最后根据∠BCO+∠BCD+∠DCP=180°，求出∠BCD=90°，即可推得△BCD是直角三角形．
（4）在坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似．然后分三种情况：①当∠APC=90°时；②当∠PAC=90°时；③当∠ACP=90°时；根据三角形相似的判定方法和性质，分别求出P点的坐标各是多少即可．

解答 解：（1）在y=-3x+3中，
当y=0时，x=1，
当x=0时，y=3，
∴A（1，0）、C（0，3）．

（2）∵C点的坐标是（0，3），
∴设直线BC的表达式是y=kx+3，
∵B点的坐标是（-3，0），
∴0=-3k+3，
解得k=1，
∴直线BC的表达式：y=x+3．

（3）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，，
∵DP⊥y轴，
∴∠DPC=90°，
∵D（-1，4），C（0，3）
∴DP=PC=1，
∴∠DCP=45°，
又∵C（0，3），B（-3，0）
∴OB=OC=3，
又∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCP=180°，
∴∠BCD=180°-45°-45°=90°，
∴△BCD是直角三角形．

（4）在坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似．
①如图2，过点D做DP⊥y轴于点P，，
由（2），可得
DP=PC=1，∠DPC=90°，
∴DC=$\sqrt{2}$，
∵OB=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AO}{DC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CO}{BC}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AO}{DC}=\frac{CO}{BC}$，
又∵∠AOC=∠DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB，
∴在坐标轴上存在点P（0，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似．

②如图3，作AP⊥AC交y轴于点P，，
∵tan∠CBD=$\frac{DC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$，tan∠0CA=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠CBD=tan∠OCA，
∴∠CBD=∠OCA，
在△CBD和△∠OCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠OCA}\\{∠BCD=∠COA}\end{array}\right.$
∴△CBD∽△∠OCA，
∴∠BDC=∠CAO，
在△BCD和△∠CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠ACP}\\{∠BCD=∠CAP=90°}\end{array}\right.$
∴△BCD∽△CAP，
∵tan∠OCA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{1}{3}$，
即$\frac{AP}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}=\frac{AP}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{3}$，
解得AP=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴OP=$\sqrt{{AP}^{2}{-AO}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{10}}{3}）}^{2}{-1}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴P点的坐标是（0，-$\frac{1}{3}$）．

③如图4，作CP⊥AC交x轴于点P，，
在△BCD和△PCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠PAC}\\{∠BCD=∠PCA=90°}\end{array}\right.$
∴△BCD∽△PCA，
∵∠CPO+∠PCO=90°，∠ACO+∠PCO=90°，
∴∠CPO=∠AC0，
∴tan∠CPO=tan∠AC0=$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{3}$，
即$\frac{CO}{PO}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3}{PO}=\frac{1}{3}$，
解得PO=9，
∴P点的坐标是（-9，0）．
综上，可得
P点的坐标是（0，0）、（0，-$\frac{1}{3}$）或（-9，0）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．