Question

8．已知：在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D 两点）．连接PM．过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y
（1）求y与x之间的函数关系．
（2）若点E与点A重合，求x的值．
（3）是否存在点P．使得点D关于直线PE的对称点G落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和角的互余关系得出∠C=∠D=90°，∠CPM=∠DEP，证明△CPM∽△DEP，得出对应边成比例，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）当E与A重合时，DE=DA=2，将y=2代入第一问得出的y与x的关系式中，即可求出x的值；
（3）过P作PH垂直于AB，由对称的性质得到：PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，根据勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意的x的值．

解答 解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，
又∵∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又∵CP=x，DE=y，AB=DC=4，
∴DP=4-x，
又∵M为BC中点，BC=2，
∴CM=1，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{4-x}$，
∴y=-x²+4x；
（2）当E与A重合时，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又∵CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{4-x}$，即x²-4x+2=0，
解得：x=2+$\sqrt{2}$或x=2-$\sqrt{2}$；
（3）存在，过P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，
根据勾股定理得：D′H=$\sqrt{（4-x）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-8x+12}$，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴$\frac{ED′}{D′P}$=$\frac{EA}{D′H}$，
即$\frac{-{x}^{2}+4x}{4-x}$=$\frac{x（4-x）}{4-x}$=x=$\frac{{x}^{2}-4x+2}{\sqrt{{x}^{2}-8x+12}}$，
整理得：2x²-4x+1=0，
解得：x=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$，
当x=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时，y=-（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）²+4×$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5+2\sqrt{2}}{2}$＞2，
此时，点E在边DA的延长线上，D关于直线PE的对称点不可能落在边AB上，不合题意舍去；
当x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$时，y=-（$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）²+4×$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5-2\sqrt{2}}{2}$＜2，
此时，点E在边AD上，符合题意；
∴当x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，对称的性质，矩形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想；本题综合性强，难度较大，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．