Question

4．如图，在平面直角坐标系中，已知A点坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短，最短是多少？

Answer 1

分析 （1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．
（2）①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．
②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．

解答 解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m）．
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）²+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短是3．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、函数图象的交点等知识点，同时考查了学生数形结合的数学思想方法．