Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，AD=AB，BE⊥DC于点E，CA的垂线AF交AB的延长线于点F，连接CF，求∠ACF的度数．

Answer 1

分析：由垂直定义可求出相关的直角和直角三角形，再根据余角的性质可得∠DCA=∠EBC，∠DAC=∠BAF，然后根据AF⊥AC，BC⊥AC，推出BC∥AF，可得∠EBC=∠AFE，通过等量代换后得∠DCA=∠AFE，根据全等三角形的判定定理“AAS”，通过求证△DAC≌△BAF，推出AC=AF后，根据AF⊥AC，即可求出∠ACF=45°．

解答：解：∵AF⊥AC，BC⊥AC，
∴BC∥AF，
∴∠EBC=∠AFB，
∵EF⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ECB=90°，∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠DCA=∠EBC，
∵∠DCA=∠AFE，又AD⊥AB，
∴∠DAC+∠CAB=90°，∠BAF+∠CAB=90°，
∴∠DAC=∠BAF，
∴在△DAC和△BAF中，

∠DAC=∠BAF ∠DCA=∠AFE AD=AB

，
∴△DAC≌△BAF（AAS），
∴AC=AF，
∵AF⊥AC，
∴∠CAF=90°，
∴∠ACF=45°．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，关键在于根据题意推出相等的角，求证△DAC≌△BAF．