Question

14．如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD=4，sinB=$\frac{4}{5}$，若E是AC边上的点，且满足AE：EC=2：3，连接DE，求cot∠ADE的值．

Answer 1

分析 作AF∥BC交DE的延长线于F，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，AB=AC，在Rt△ABD中利用∠B的正弦可求出AB=5，再利用勾股定理可计算出BD=3，所以CD=3，AC=5，然后通过△AEF∽△CED，利用相似比可计算出AF=2，然后在Rt△DAF中，根据余切的定义求解．

解答 解：作AF∥BC交DE的延长线于F，如图，
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴BD=CD，AB=AC，
在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，而AD=4，
∴AB=5，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∴CD=3，AC=5，
∵AF∥CD，
∴∠DAF=90°，△AEF∽△CED，
∴$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AE}{EC}$，即$\frac{AF}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴AF=2，
在Rt△DAF中，cot∠ADF=$\frac{AD}{AF}$=$\frac{4}{2}$=2，
即cot∠ADE的值为2．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了相似三角形的判定与性质．