Question

【题目】在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；

（2）若四边形EHFG是矩形，则□ABCD应满足的条件是 （不需要证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=2AD.

【解析】试题分析：（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，先证明四边形ADFE是正方形，得出有一个内角等于90°，从而证明菱形EHFG为一个矩形．

试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

又∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD，

∴AE=CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴ GF∥CH，

同理EG∥HF，

∴四边形EHGF是平行四边形.

（2）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，平行四边形EHFG是矩形。

∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB=CD，

∴AE=DF,且AE∥DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∴AD=EF，

又∵AB=2AD，E为AB中点，则AB=2AE，

于是有AE=AD=AB，

这时,EF=AE=AD=DF=AB,∠EAD=∠FDA=90°，

∴四边形ADFE是正方形，

∴EG=FG=AF,AF⊥DE,∠EGF=90°，

∴此时，平行四边形EHFG是矩形。