Question

14．已知：△ABC，AB=1，∠B=60°，∠C=15°，D为直线AB上一点，且BD=BC，则△ACD的面积等于$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 如图在BC上取一点E使得AE=EC，作AF⊥CD垂足为F，在RT△ABE可以求出线段BE、AE，再在RT△ADF中求出AF，BF，在RT△AFC中求出CF，根据S_△ACD=$\frac{1}{2}$•CD•AF即可计算．

解答 解：如图，在BC上取一点E使得AE=EC，作AF⊥CD垂足为F．
∵∠ACB=15°，
∴∠EAC=∠ACE=15°，
∴∠AEB=∠EAC+∠ACE=30°，
在RT△ABE中，∵AB=1，∠AEB=30°，
∴BE=2，AE=EC=$\sqrt{3}$，
∴BD=BC=2+$\sqrt{3}$，AD=3+$\sqrt{3}$，
∴∠BDC=∠DCB
∵∠ABC=60°，∠ABC=∠BDC+∠DCB，
∴∠D=∠BCD=30°，∠ACF=45°
在RT△ADF中，∵∠D=30°，AD=3+$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}$，
∵∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠ACF=45°，
∴$AF=FC=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=DF+CF=2$\sqrt{3}$+3，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•CD•AF=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+3）（$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+$\frac{15}{4}$．
故答案为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查直角三角形的有关性质，解题的关键是利用特殊角30度角的性质，体现了转化的思想“15°”如何转化为“30°”这是添加辅助线的依据．