Question

15．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l₁：y=-3x+3，l₂：y=-3x+9，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点B，直线l₂交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l₂于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax²+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：
①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S_{四边形ABCD}=5，
其中正确的个数有（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据直线l₁的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E（-1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，进而判断各选项即可．

解答 解：∵直线l₁：y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（1，0），B（0，3），
∵点A、E关于y轴对称，
∴E（-1，0）．
∵直线l₂：y=-3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l₂于点C，
∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，
把y=3代入y=-3x+9，得3=-3x+9，解得x=2，
∴C（2，3）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过E、B、C三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3．
①∵抛物线y=ax²+bx+c过E（-1，0），
∴a-b+c=0，故①正确；
②∵a=-1，b=2，c=3，
∴2a+b+c=-2+2+3=3≠5，故②错误；
③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，
∴对称轴是直线x=1，
∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；
④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，
∴抛物线过点（b，c），故④正确；
⑤∵直线l₁∥l₂，即AB∥CD，又BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S_{四边形ABCD}=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．
综上可知，正确的结论有3个．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．