Question

4．如图，A、B分别为y=x²图象上的两点，且AB⊥y轴，AB=6，
（1）求出点A、B的坐标；
（2）若点C在y=x²的图象上，且∠ACB=90°，求出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的性质可判断点A与点B关于y轴对称，则易得A（-3，9），B（3，9）；
（2）设C（a，a²），根据勾股定理得出（-3-a）²+（9-a²）²+（-3-a）²+（9-a²）²=6²，解方程即可求得C的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²的对称轴为y轴，
而线段AB⊥y轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴A的横坐标为-3，B的横坐标为3，
代入解析式即可求得A、B的纵坐标为9，
∴A（-3，9），B（3，9）．
（2）设C（a，a²），
∴AC²=（-3-a）²+（9-a²）²，BC²=（-3-a）²+（9-a²）²，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，即（-3-a）²+（9-a²）²+（-3-a）²+（9-a²）²=6²，
解得，a²=8或a²=9（舍去），
∴C的坐标为（-2$\sqrt{2}$，8）或（2$\sqrt{2}$，8）．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，应用勾股定理是本题的关键．