【题目】已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点.现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.如图,若该抛物线经过原点O,且a=-.
(1)求点D的坐标及该抛物线的解析式;
(2)连结CD.问:在抛物线上是否存在点P,使得∠POB与∠BCD互余?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)D点的坐标是(3,1).y=-x2+
x;(2)在抛物线上存在点P1(
,
),P2(
,-
),使得∠POB与∠BCD互余.
【解析】试题分析:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,先通过三角形全等求得D的坐标,把D的坐标和a=-,c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式;
(2)先证得CD∥x轴,进而求得要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO,设P的坐标为(x,-x2+
x),分两种情况讨论即可求得;
试题解析:
(1)过点D作DF⊥x轴于点F.
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,∴
∠DBF=∠BAO.
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
∴△AOB≌△BFD,
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D点的坐标是(3,1).
根据题意,抛物线y=-x2+bx+c经过原点和点D,
∴c=0,(-)×32+b×3+c=1,
∴b=,
∴该抛物线解析式为y=-x2+
x;
(2)存在.
∵C、D两点纵坐标都为1,
∴CD∥x轴,
∴∠BCD=∠ABO,
∴∠BAO与∠BCD互余.若要使得∠POB与∠BCD互余,则需满足∠POB=∠BAO.
设点P的坐标为(x,- x2+
x).
当点P在x轴上方时,则tan∠POB=tan∠BAO,
∴,解得x1=0(舍去),x2=
.
当x=时,-
x2+
x=
,
∴点P的坐标是(,
);
当点P在x轴下方时,则,解得x1=0(舍去),x2=
.当x=时,
∴-x2+
x=-
,
∴点P的坐标是(,-
).
综上所述,在抛物线上存在点P1(,
),P2(
,-
),使得∠POB与∠BCD互余.
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解答下列问题:3+32+33+34…+32015的末位数字是( )
A.1
B.3
C.7
D.9
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(1)写出该地空中气温T(℃)与距离地面高度h(km)之间的关系式;
(2)求距地面3km处的气温T.
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【题目】(2016·无锡中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )
A. B. 2
C. 3 D. 2
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【题目】现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.阜阳市某家快递公司,2017年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率?
(2) 如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成2017年6月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
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