Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD于点E，若AB=8，CD=6，则⊙O的半径是多少？

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：作OH⊥AB于H，OF⊥CD于F，连结OA、OC，如图，根据垂径定理得AH=

1

2

AB=4，DF=

1

2

CD=3，根据等腰三角形的性质得∠AOH=

1

2

∠AOB，∠DOF=

1

2

∠DOC，
而根据圆周角定理得到∠ACB=

1

2

∠AOB，∠DBC=

1

2

∠DOC，则∠AOH=∠ACB，∠DOF=∠DBC，再利用∠ACB+∠DBC=90°得到∠AOH+∠DOF=90°，于是根据等角的余角相等得∠OAH=∠DOF，则根据“AAS”可判断△AOH≌△ODF，所以OH=DF=3，然后在Rt△AOH中根据勾股定理计算OA．

解答：解：作OH⊥AB于H，OF⊥CD于F，连结OA、OC，如图，
∵OH⊥AB，OF⊥CD，
∴AH=BH=

1

2

AB=4，DF=CF=

1

2

CD=3，
∴∠AOH=

1

2

∠AOB，∠DOF=

1

2

∠DOC，
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∠DBC=

1

2

∠DOC，
∴∠AOH=∠ACB，∠DOF=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∴∠AOH+∠DOF=90°，
而∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠OAH=∠DOF，
在△AOH和△ODF中，

∠AHO=∠OFD ∠OAH=DOF AO=OD

，
∴△AOH≌△ODF（AAS），
∴OH=DF=3，
在Rt△AOH中，∵OH=3，AH=4，
∴OA=

OH2+AH2

=5，
即⊙O的半径是5．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．