Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC交⊙O于E点，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD、OB，求出△COD≌△COB，根据全等三角形的性质得出∠ODC=∠OBC，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠A=∠BDG，设BD=5x，BG=4x，求出DG=3x，根据勾股定理求出x，即可求出DG，根据垂径定理求出DF=2DG，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OD，BD．

∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，

OC=OC ∠COD=∠COB OD=OB

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC⊥AB，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DGB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠BDG=90°，
∴∠BAD=∠BDG，
∵sin∠BAD=

4

5

，
∴sin∠BDG=

4

5

=

BG

BD

，
设BD=5x，BG=4x，由勾股定理得：DG=3x，
在Rt△DGO中，OD=5，BO=5，GO=4x-5，DG=3x，由勾股定理得：5²=（3x）²+（4x-5）²，
解得：x=

8

5

（x=0舍去），
DG=3x=

24

5

，
∵直径AB⊥DF，
∴DF=2DG=

48

5

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．