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【题目】如图,抛物线yax2+bx+cx轴分别于点A(﹣30),B10),交y轴正半轴于点D,抛物线顶点为C.下列结论

2ab0

a+b+c0

③当m≠1时,abam2+bm

④当ABC是等腰直角三角形时,a

⑤若D03),则抛物线的对称轴直线x=﹣1上的动点PBD两点围成的PBD周长最小值为3,其中,正确的个数为(  )

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

AB两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②;

根据抛物线的顶点和最值即可判断③;

求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标,进而可求得此时a的值,于是可判断④;

根据利用对称性求线段和的最小值的方法(将军饮马问题)求解即可判断⑤.

解:把A(﹣30),B10)代入yax2+bx+c得到,消去c得到2ab0,故①②正确;

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,开口向下,∴x=﹣1时,y有最大值,最大值=ab+c

m1,∴ab+cam2+bm+c,∴abam2+bm,故③正确;

当△ABC是等腰直角三角形时,C(﹣12),

可设抛物线的解析式为yax+12+2,把(10)代入解得a=﹣,故④正确,

如图,连接AD交抛物线的对称轴于P,连接PB,则此时△BDP的周长最小,最小值=PD+PB+BDPD+PA+BDAD+BD

AD3BD

∴△PBD周长最小值为3,故⑤正确.

故选:D

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2ABAC

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