Question

如图是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c＜0；④m（am+b）≥a-b（m为任意实数）；⑤若（-5，y₁），（2，y₂）是抛物线上两点，则y₁＞y₂．其中说法正确的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a-b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向上，得到当x=-1时，y有最小值，所以am²+bm+c≥a-b+c（m为任意实数），整理得到m（am+b）≥a-b（m为任意实数），则可对④进行判断；通过点（-5，y₁）和点（2，y₂）离对称轴的远近对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＞0，则2a-b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y有最小值，
∴am²+bm+c≥a-b+c（m为任意实数），
∴m（am+b）≥a-b（m为任意实数），所以④正确；
∵点（-5，y₁）离对称轴要比点（2，y₂）离对称轴要远，
∴y₁＞y₂，所以⑤正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．