Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b=______；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），
∴-×8+b=0，
解得：b=6，；

（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，
则∠AOB=∠DEA=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，
∴∠1=∠3，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，
∵在△AOB和△DEA中，

∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴OA=DE=8，OB=AE=6，
∴OE=OA+AE=8+6=14，
∴点D的坐标为（14，8）；

（3）存在．
①如图2，当OM=MB=BN=NO时，四边形OMBN为菱形．连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分，
∴OP=OB=3，
∴当y=3时，-x+6=3，
解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（-4，3）．
②如图3，当OB=BN=NM=MO=6时，四边形BOMN为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．
∵点M在直线y=-x+6上，
∴设点M的坐标为（a，-a+6）（a＞0），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
即：a²+（-a+6）²=6²，
整理得：a²-9a=0，
∵a＞0，
∴a-9=0，
解得：a=，
∴点M的坐标为（，），
∴点N的坐标为（，）．
综上所述，x轴上方的点N有两个，分别为（，）和（-4，3）．
故答案为：6．
分析：（1）由直线y=-分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），即可求得b的值；
（2）首先过点D作DE⊥x轴于点E，易证得△AOB≌△DEA，则可求得DE与AE的长，继而可求得点D的坐标；
（3）分别从当OM=MB=BN=NO时，四边形OMBN为菱形与当OB=BN=NM=MO=6时，四边形BOMN为菱形去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．