如图，抛物线 $数学公式$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点O与点D关于直线AC对称，连接OD，CD，OD交AC于点E
（1）分别求出点A，B，C的坐标；
（2）若反比例函数 $数学公式$ 的图象过点D，求k的值；
（3）两动点M，N同时从点A出发，分别沿AO，AC的方向向点O，C移动，点M秒移动1个单位长度，点N每秒移动2个单位长度，设△MNO的面积为S，移动的时间为t，则S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A、B均在x轴上，
令y=0，即 $\text{[math]}$ =0；
解得 x₁=-6，x₂=-1，
∴A（-6，0）、B（-1，0）．
令x=0，即y=2 $\text{[math]}$ ，
∴C（0，2 $\text{[math]}$ ）．
综上所述，A（-6，0）、B（-1，0）、C（0，2 $\text{[math]}$ ）．

（2）如图，∵由A（-6，0）、C（0，2 $\text{[math]}$ ）得：OA=6，OC=2 $\text{[math]}$ ，
∴cot∠OAC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠OAC=30°．
∵D与O点关于AC对称，
∴OD=OA=6，∠DOA=60°，
∴D（-3，3 $\text{[math]}$ ）．
∵反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象过点D，
∴3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴k=-9 $\text{[math]}$ ．

（3）存在，理由如下：
设AM=t（0＜t＜6），则AN=2t，易求AC=4 $\text{[math]}$ ．
当点N到达终点C时，t=2 $\text{[math]}$ ．
∵2 $\text{[math]}$ ＜6，
∴点M继续向右移动，
∴当2 $\text{[math]}$ ＜t＜6时，t越大，△MNO的面积越小．
当t=2 $\text{[math]}$ 时，S= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×（6-2 $\text{[math]}$ ）=6 $\text{[math]}$ -6．
当0＜t＜2 $\text{[math]}$ 时，S_△MNO= $\text{[math]}$ •（6-t）•t=-（t-3）²+ $\text{[math]}$ ，即当t=3时，S有最大值 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ＞6 $\text{[math]}$ -6，
∴当t=3时，S有最大值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即C点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、B的坐标）．
（2）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、C的坐标，易判断出△OAC是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AC对称，可得出OD的长，结合∠DOA的度数，即可得到D点的坐标，由此得解．
（4）首先用t列出AM、AN的表达式，进而可得到N到x轴的距离，以OM为底、N到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．
点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．

练习册系列答案

课课练与单元测试系列答案

世纪金榜小博士单元期末一卷通系列答案

单元测试AB卷台海出版社系列答案

黄冈新思维培优考王单元加期末卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x²-10x+16=0两根，且OB＜OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、MC，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学