Question

20．如图．点A在x轴上，且A（4，0），以点A为圆心.2为半径画⊙A，点C坐标为（0，2），CB是⊙A的切线交x轴于点D．
（1）求B点的坐标；
（2）求直线BC的解析式．

Answer 1

分析 （1）连接OB，过点B作BE⊥AD于点E，根据CB是⊙A的切线得出∠ABD=90°，再由点C坐标为（0，2）得出OC=2，根据⊙A的半径等于2可得出AB=2，由AAS定理得出△COD≌△ABD，故OD=BD，CD=AD，再由A（4，0）可知OA=4，设OD=BD=x，则CD=AD=4-x，在Rt△OCD中根据勾股定理求出x的值，故可得出OD及AD的长，根据三角形的面积公式求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，进而可得出B点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可．

解答 解：（1）连接OB，过点B作BE⊥AD于点E，
∵CB是⊙A的切线，
∴∠ABD=90°．
∵点C坐标为（0，2），
∴OC=2．
∵⊙A的半径等于2，
∴AB=2，
在△COD与△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OC=AB\\∠COD=∠ABD\\∠CDO=∠ADB\end{array}\right.$，
∴△COD≌△ABD（AAS），
∴OD=BD，CD=AD．
∵A（4，0），
∴OA=4，设OD=BD=x，则CD=AD=4-x，
在Rt△OCD中，OD²+OC²=CD²，即x²+2²=（4-x）²，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴AD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴BE=$\frac{BD•AB}{AD}$=$\frac{\frac{3}{2}×2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{6}{5}$
∵OC∥BE，
∴$\frac{BE}{OC}$=$\frac{DE}{OD}$，即$\frac{\frac{6}{5}}{2}$=$\frac{DE}{\frac{3}{2}}$，解得DE=$\frac{9}{10}$，
∴OE=OD+DE=$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{10}$=$\frac{12}{5}$，
∴B（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点D在直线BC上，C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ \frac{3}{2}k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2．

点评 本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用相似三角形的性质求解是解答此题的关键．