【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN,若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN,AM于点E,F,AE和BF交于点P.如图,点点同学发现当射线AM,BN交于点C;且∠ACB=60°时,有以下两个结论:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,当AM∥BN时:
(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出∠APB的度数,写出AF,BE,AB长度之间的等量关系,并给予证明;
(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5,若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32 ,求AQ的长.
【答案】
(1)
解:原命题不成立,新结论为:∠APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB),
理由:∵AM∥BN,
∴∠MAB+∠NBA=180°,
∵AE,BF分别平分∠MAB,NBA,
∴∠EAB= ∠MAB,∠FBA= ∠NBA,
∴∠EAB+∠FBA= (∠MAB+∠NBA)=90°,
∴∠APB=90°,
∵AE平分∠MAB,
∴∠MAE=∠BAE,
∵AM∥BN,
∴∠MAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,
同理:AF=AB,
∴AF=+BE=2AB(或AF=BE=AB);
(2)
解:如图1,
过点F作FG⊥AB于G,
∵AF=BE,AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AF+BE=16,
∴AB=AF=BE=8,
∵32 =8×FG,
∴FG=4 ,
在Rt△FAG中,AF=8,
∴∠FAG=60°,
当点G在线段AB上时,∠FAB=60°,
当点G在线段BA延长线时,∠FAB=120°,
①如图2,
当∠FAB=60°时,∠PAB=30°,
∴PB=4,PA=4 ,
∵BQ=5,∠BPA=90°,
∴PQ=3,
∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3.
②如图3,
当∠FAB=120°时,∠PAB=60°,∠FBG=30°,
∴PB=4 ,
∵PB=4 >5,
∴线段AE上不存在符合条件的点Q,
∴当∠FAB=60°时,AQ=4 ﹣3或4 +3.
【解析】(1)由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA,从而得到∠APB=90°,最后用等边对等角,即可.(2)先根据条件求出AF,FG,求出∠FAG=60°,最后分两种情况讨论计算.此题是四边形综合题,主要考查了平行线的性质,角平分线的性质,直角三角形的性质,勾股定理,解本题的关键是用勾股定理计算线段.
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【题目】如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知 =2,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.
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【题目】初二()班的全体同学在体测当天沿着同一条路匀速从名校联中班级教室出发到重庆一中本部操场参加体育测试,行进到本部综合楼时班主任老师发现未带相关体测器材,立即派小赵同学原路匀速跑回本班教室取器材(取器材时间为分钟),然后马上又以原速的去追赶班级队伍.当途中再次经过综合楼时,小赵发现班级队伍在自己前面不远处,于是他又以之前的速度追赶班级队伍,结果仍然比班级队伍晚分钟到达本部操场.如图所示,设小赵与本部操场之间距离为(),小赵所用时间为(),则当小赵途中再次经过综合楼时,班级队伍(队伍长度忽略不计)离本部操场的距离是______米.
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【题目】如图是某市2016年四月每日的最低气温(℃)的统计图,则在四月份每日的最低气温这组数据中,中位数和众数分别是( )
A.14℃,14℃
B.15℃,15℃
C.14℃,15℃
D.15℃,14℃
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【题目】某汽车厂去年每个季度汽车销售数量(辆)占当季汽车产量(辆)百分比的统计图如图所示.根据统计图回答下列问题:
(1)若第一季度的汽车销售量为2100辆,求该季的汽车产量;
(2)圆圆同学说:“因为第二,第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从75%降到50%,所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”,你觉得圆圆说的对吗?为什么?
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【题目】如图,一架云梯AB的长25 m,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24 m.
(1)这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米?
(2)如果梯子的顶端下滑了4 m,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗?为什么?
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【题目】规定两数a、b之间的一种运算,记作(a,b):如果,那么(a,b)=c.
例如:因为,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定,填空:
(5,125)= ,(-2,4)= ,(-2,-8)= ;
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象:,他给出了如下的证明:
设,则,即
∴,即,
∴.
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由.
(4,5)+(4,6)=(4,30)
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,∠B=60°,若AD=3,则梯形ABCD的周长为( )
A.12
B.15
C.12
D.15
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【题目】【问题情境】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图①,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
【初步运用】
如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.
【灵活运用】
如图③,在△ABC中, ∠A=90°,D为BC中点, DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.
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