Question

14．求$\sqrt{（x-3）^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值．

Answer 1

分析 求$\sqrt{（x-3）^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值，也就是求$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$的最小值，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$可以看成点P与点A（0，1）的距离，$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．

解答 解：∵求$\sqrt{（x-3）^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值，
也就是求$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$的最小值，
如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$可以看成点P与点A（0，1）的距离，$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$可以看成点P与点B（3，2）的距离，
∴原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∵求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
为此，构造直角三角形A′CB，
∵A′C=3，CB=3，
∴A′B=3$\sqrt{2}$，
即原式的最小值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，勾股定理，正确的画出图形是解题的关键．