Question

9．已知a、b、c均不为0，且a+b+c=0，求$\frac{1}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$的值？

Answer 1

分析 根据a+b+c=0，求得b²+c²=a²-2bc，c²+a²=b²-2ac，a²+b²=c²-2ab，代入所求的分式即可求得结果．

解答 解：∵a+b+c=0，
∴b+c=a，c+a=b，a+b=c，
∴b²+c²=a²-2bc，c²+a²=b²-2ac，a²+b²=c²-2ab，
∴$\frac{1}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$
=$\frac{1}{-2bc}$+$\frac{1}{-2ac}$+$\frac{1}{2ab}$
=-$\frac{a+b+c}{2abc}$
=0．

点评 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是求得b²+c²=a²-2bc，c²+a²=b²-2ac，a²+b²=c²-2ab．