【题目】刘徵是我国古代最杰出的数学家之一,他在《九算术圆田术)中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法(注:圆周率=圆的周长与该圆直径的比值)“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”,刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时,如果按照上述方法计算,可得圆周率为_____.(参考数据:sinl5°=0.26)
【答案】3.12
【解析】
连接OA1、OA2,根据正十二边形的性质得到∠A1OA2=30°,△A1OA2是等腰三角形,作OM⊥A1A2于M,根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM=15°,A1A2=2A1M.设圆的半径R,解直角△A1OM,求出A1M,进而得到正十二边形的周长L,那么圆周率π≈.
如图,设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L.
连接OA1、OA2,
∵十二边形A1A2…A12是正十二边形,
∴∠A1OA2=30°.
作OM⊥A1A2于M,又OA1=OA2,
∴∠A1OM=15°,A1A2=2A1M.
在直角△A1OM中,A1M=OA1sin∠A1OM=0.26R,
∴A1A2=2A1M=0.52R,
∴L=12A1A2=6.24R,
∴圆周率π≈=
=3.12.
故答案为3.12.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 B 的坐标为(4,3).
(1)直接写出A、C两点的坐标;
(2)平行于对角线AC的直线 m 从原点O出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点M、N,设直线m运动的时间为t(秒).
①若 MN=AC,求 t 的值;
②设△OMN 的面积为S,当 t 为何值时,S=.
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【题目】杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分,如图
(1)求演员弹跳离地面的最大高度;
(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.
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【题目】某种蔬菜每千克售价(元)与销售月份
之间的关系如图1所示,每千克成本
(元)与销售月份
之间的关系如图2所示,其中图1中的点在同一条线段上,图2中的点在同一条抛物线上,且抛物线的最低点的坐标为(6,1).
(1)求出与
之间满足的函数表达式,并直接写出
的取值范围;
(2)求出与
之间满足的函数表达式;
(3)设这种蔬菜每千克收益为元,试问在哪个月份出售这种蔬菜,
将取得最大值?并求出此最大值.(收益=售价-成本)
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【题目】如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°.转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则该扇形内的数字即为转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率;
(2)转动转盘两次,用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.
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【题目】如图是边长为1的正方形网格,△A1B1C1的顶点均在格点上.
(1)在该网格中画出△A2B2C2(顶点均在格点上),使△A2B2C2∽△A1B1C1;
(2)请写出(1)中作图的主要步骤,并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据.
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在一个点M,使得MP=MC,则称点P为⊙C的“等径点”,已知点D(,
),E(0,2
),F(﹣2,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是哪几个点;
②作直线EF,若直线EF上的点T(m,n)是⊙O的“等径点”,求m的取值范围.
(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G,若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r的取值范围.
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【题目】小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上;如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米,垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为___.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若BC=2.求阴影部分的面积.(结果保留π的形式)
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