Question

【题目】刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为_____．（参考数据：sinl5°＝0.26）

Answer 1

【答案】3.12

【解析】

连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．

如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．

连接OA1、OA2，

∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，

∴∠A1OA2＝30°．

作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，

∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．

在直角△A1OM中，A1M＝OA1sin∠A1OM＝0.26R，

∴A1A2＝2A1M＝0.52R，

∴L＝12A1A2＝6.24R，

∴圆周率π≈＝＝3.12．

故答案为3.12．