【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在一个点M,使得MP=MC,则称点P为⊙C的“等径点”,已知点D(,),E(0,2),F(﹣2,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是哪几个点;
②作直线EF,若直线EF上的点T(m,n)是⊙O的“等径点”,求m的取值范围.
(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G,若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r的取值范围.
【答案】(1)①⊙O的“等径点”是D,E;②﹣2≤m≤﹣1;(2)这个圆的半径r的取值范围为r≥2.
【解析】
(1)①根据“等径点”的定义可知,“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍,由此即可判定;
②如图2中,设直线EF交半径为2的⊙O于点K,连接OK,作KM⊥OF于M.当点T在线段FK上时,点T是“等径点”,求出点K的坐标即可解决问题;
(2)因为△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,所以这个圆的圆心Q是线段FG的中点,易知Q(2,0),设这个圆的半径为r.根据QG≤2r,构建不等式即可解决问题.
(1)根据“等径点”的定义可知,“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍.即半径为1的⊙O的“等径点”在以O为圆心2为半径的圆内或圆上.
如图1中,观察图象可知:在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是D,E.
②如图2中,设直线EF交半径为2的⊙O于点K,连接OK,作KM⊥OF于M.
∵OF=2,OE=2,
∴tan∠EFO==,
∴∠OFK=60°,
∵OF=OK,
∴△OFK是等边三角形,
∴OF=OK=FK=2,
∵KM⊥OF,
∴FM=OM=1,KM==,
∴K(﹣1, ),
∵当点T在线段FK上时,点T是“等径点”,
∴﹣2≤m≤﹣1.
(2)如图3中,
∵△EFG是直角三角形,∠FEG=90°,∠EFG=60°,
∴EF=2OF=4,FG=2EF=8,
∴OG=6,
由题意△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,这个圆的圆心Q是线段FG的中点,Q(2,0),设这个圆的半径为r.
由题意:QG≤2r
∴4≤2r,
∴r≥2,
即这个圆的半径r的取值范围为r≥2.
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(﹣1,2)和(1,0),且与y轴交于负半轴,给出六个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0;⑤b2﹣4ac>0;⑥2a﹣b>0,其中正确结论序号是_____.
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【题目】刘徵是我国古代最杰出的数学家之一,他在《九算术圆田术)中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法(注:圆周率=圆的周长与该圆直径的比值)“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”,刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时,如果按照上述方法计算,可得圆周率为_____.(参考数据:sinl5°=0.26)
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【题目】小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:
(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利多少元;
(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价﹣单株成本)
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【题目】下列命题:①所有锐角三角函数值都为正数;②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素;③Rt△ABC中,∠B=90°,则sin2A+cos2A=1;④Rt△ABC中,∠A=90°,则tanCsinC=cosC.其中正确的命题有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】如图,抛物线与轴的负半轴交于点,与轴交于点,连结,点C(6,)在抛物线上,直线与轴交于点
(1)求的值及直线的函数表达式;
(2)点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,连结与直线交于点,连结并延长交于点,若为的中点.
①求证:;
②设点的横坐标为,求的长(用含的代数式表示).
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【题目】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水温降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时,接通电源后,水温y(℃)和时间(min)的关系如图,为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的
A.7:20 B.7:30 C.7:45 D.7:50
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【题目】已知:如图,在四边形中,,.点为边上一点,将沿直线折叠,使点落在四边形对角线上的点处,的延长线交直线于点.
点可以是的中点吗?请说明理由;
求证:;
设,,.当四边形为平行四边形时,求,,应满足的关系.
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