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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在一个点M,使得MP=MC,则称点P为⊙C的“等径点”,已知点D(),E(0,2),F(﹣2,0).

(1)当⊙O的半径为1时,

①在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是哪几个点;

②作直线EF,若直线EF上的点T(m,n)是⊙O的“等径点”,求m的取值范围.

(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G,若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r的取值范围.

【答案】(1)①⊙O的“等径点”是D,E;②﹣2≤m≤﹣1;(2)这个圆的半径r的取值范围为r≥2.

【解析】

(1)①根据“等径点”的定义可知,“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍,由此即可判定;

②如图2中,设直线EF交半径为2的⊙O于点K,连接OK,作KMOFM.当点T在线段FK上时,点T是“等径点”,求出点K的坐标即可解决问题;

(2)因为△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,所以这个圆的圆心Q是线段FG的中点,易知Q(2,0),设这个圆的半径为r.根据QG≤2r,构建不等式即可解决问题.

(1)根据“等径点”的定义可知,“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍.即半径为1的⊙O的“等径点”在以O为圆心2为半径的圆内或圆上.

如图1中,观察图象可知:在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是D,E.

②如图2中,设直线EF交半径为2的⊙O于点K,连接OK,作KM⊥OF于M.

∵OF=2,OE=2

∴tan∠EFO==

∴∠OFK=60°,

∵OF=OK,

∴△OFK是等边三角形,

∴OF=OK=FK=2,

∵KM⊥OF,

∴FM=OM=1,KM=

∴K(﹣1, ),

∵当点T在线段FK上时,点T是“等径点”,

∴﹣2≤m≤﹣1.

(2)如图3中,

∵△EFG是直角三角形,∠FEG=90°,∠EFG=60°,

∴EF=2OF=4,FG=2EF=8,

∴OG=6,

由题意△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,这个圆的圆心Q是线段FG的中点,Q(2,0),设这个圆的半径为r.

由题意:QG≤2r

∴4≤2r,

∴r≥2,

即这个圆的半径r的取值范围为r≥2.

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